【题目】已知抛物线 :
过点
的直线交抛物线
于
两点,设
(1)若点 关于
轴的对称点为
,求证:直线
经过抛物线
的焦点
;
(2)若求当
最大时,直线
的方程.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【解析】试题分析:(1)设出P和Q的坐标,根据P和M关于x轴对称表示出M的坐标,利用设出的坐标表示出和
,根据
,化简即可得到P和Q的横坐标,然后由抛物线的方程找出焦点F的坐标,然后利用M,F和Q的坐标表示出向量
,利用刚才化简的式子及求出的横坐标代入即可得到
=λ
,所以得到直线MQ过F点;(2)由第一问求得的P和Q的横坐标相乘等于1,由y12﹣y22=16x1x2=16,y1y2>0,得到y1y2的值,利用两点间的距离公式表示出|PQ|2,然后把P和Q的横坐标及得到的y1y2的值及x1x2的值分别代入得到关于λ的关系式,配方后利用λ的范围求出λ+
的范围,即可求出λ+
的最大值,让其等于最大值解出此时λ的值,把λ的值代入关于λ的关系式即可求出|PQ|2的最大值,即得到|PQ|最大值,并利用λ的值求出此时P和Q两点的坐标,根据两点的坐标即可写出直线PQ的方程.
详解:
(1)设
由抛物线C:得到F(1,0)
直线MQ经过抛物线C的焦点F;
(2)由(1)知
则
当 即
时,
有最大值
,则
的最大值为
此时
则直线的方程为:
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【题目】某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调,连续五周销售情况如表所示:
第一周 第二周 第三周 第四周 第五周
A型数量/台 12 8 15 22 18
B型数量/台 7 12 10 10 12
C型数量/台
(I)求A型空调平均每周的销售数量;
(Ⅱ)为跟踪调查空调的使用情况,从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中,随机抽取一台,求抽到B型空调的概率;
(III)已知C型空调连续五周销量的平均数为7,方差为4,且每周销售数量互不相同,求C型空调这五周中的最大销售数量。(只需写出结论)
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的两个焦点为F1 , F2 , 离心率为
,点A,B在椭圆上,F1在线段AB上,且△ABF2的周长等于4
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M,N,求△PMN面积的最大值.
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【题目】将函数y=sinx的图象向右平移 个单位,再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(ωx+φ),(ω>0,|φ|<
)的图象,则( )
A.ω=2,φ=﹣
B.ω=2,φ=﹣
C.ω= ,φ=﹣
D.ω= ,φ=﹣
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【题目】随着人们生活水平的不断提高,家庭理财越来越引起人们的重视.某一调查机构随机调查了5个家庭的月收入与月理财支出(单位:元)的情况,如下表所示:
月收入 | 8 | 10 | 9 | 7 | 11 |
月理财支出 |
(I)在下面的坐标系中画出这5组数据的散点图;
(II)根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(III)根据(II)的结果,预测当一个家庭的月收入为元时,月理财支出大约是多少元?
(附:回归直线方程中,
,
.)
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【题目】在如图所示的多面体中,平面
,
平面
,
,且
,
是
的中点.
()求证:
.
()若
为线段
上一点,且
,求证:
平面
.
()在棱
上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角为
.若存在,指出点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,已知
底面
,
,
,
,
,异面直线
和
所成角等于
.
(1)求直线和平面
所成角的正弦值;
(2)在棱上是否存在一点
,使得平面
与平面
所成锐二面角的正切值为
?若存在,指出点
在棱
上的位置;若不存在,说明理由.
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