Question

如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．

(1)求证：PA⊥EF；

(2)求二面角D－FG－E的余弦值．

 

Answer 1

以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(－2,0,0)，P(0,0,2)，E(－1,0,1)，F(0,0,1)，G(－2,1,0)．

(1)证明：由于＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，

则·＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，

∴PA⊥EF.

(2)易知＝(0,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－2,1，－1)，

设平面DFG的法向量m＝(x₁，y₁，z₁)，

则

令x₁＝1，得m＝(1,2,0)是平面DFG的一个法向量．

设平面EFG的法向量n＝(x₂，y₂，z₂)，

同理可得n＝(0,1,1)是平面EFG的一个法向量．

∵cos〈m，n〉＝

设二面角D－FG－E的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈m，n〉，∴cosθ＝－，

∴二面角D－FG－E的余弦值为－.