【题目】已知函数.
()若
,求曲线
在点
处的切线方程.
()求函数
的单调区间.
()设函数
,若对于任意
,都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】()
.(
)见解析.(
)
.
【解析】试题分析: 求出
,计算出
,
的值,求出切线方程即可;
求出函数的导数,通过讨论
的范围,求出函数的单调区间即可;
问题等价于
,令
,求出
的最大值,从而求出实数
的取值范围。
解析:()∵
,
,
,
,
∴在
处切线方程为
.
()∵
,
令,即
,
解出或
.
①当时(即
时),
由得
或
,
由得
,
∴的增区间为
,
,减区间为
,
②当(即
时),
由得
或
,
由得
,
∴增区间为
,
,减区间为
.
③当,即
时,
,在
上恒成立,
∴的增区间为
无减区间.
综上, 时,
增区间为
,
,减区间为
,
时,
增区间为
,
减区间为
,
时,
增区间为
,无减区间.
()∵
,有
恒成立,
则,即
,
令,当
时,
,
,
∵当时,
,
在
上单调递增,
∴.
∴,
∴.
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【题目】2018年,南昌市召开了全球VR产业大会,为了增强对青少年VR知识的普及,某中学举行了一次普及VR知识讲座,并从参加讲座的男生中随机抽取了50人,女生中随机抽取了70人参加VR知识测试,成绩分成优秀和非优秀两类,统计两类成绩人数得到如下的列联表:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
男生 | a | 35 | 50 |
女生 | 30 | d | 70 |
总计 | 45 | 75 | 120 |
(1)确定a,d的值;
(2)试判断能否有90%的把握认为VR知识的测试成绩优秀与否与性别有关;
(3)为了宣传普及VR知识,从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法,随机选出6名组成宣传普及小组.现从这6人中随机抽取2名到校外宣传,求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.
附:
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度(单位:千克/年)是养殖密度
(单位:尾/立方米)的函数.当
时,
的值为2千克/年;当
时,
是
的一次函数;当
时,因缺氧等原因,
的值为0千克/年.
(1)当时,求
关于
的函数表达式.
(2)当养殖密度为多少时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.
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【题目】已知椭圆的右焦点为
,且过点
求椭圆的标准方程;
设直线l:
与椭圆在第一象限的交点为M,过点F且斜率为
的直线与l交于点N,若
与
的面积之比为3:
为坐标原点
,求k的值.
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【题目】有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如图的列联表. 已知在全部105人中随机抽取一人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到8或9号的概率.
参考公式和数据:
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【题目】一只小蜜蜂位于数轴上的原点处,小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力,且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后,停在数轴上实数3位于的点处,则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种?( )
A. 5 B. 25 C. 55 D. 75
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【题目】如图,在四棱锥中,四边形
是菱形,
,平面
平面
在棱
上运动.
(1)当在何处时,
平面
;
(2)已知为
的中点,
与
交于点
,当
平面
时,求三棱锥
的体积.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
,曲线
为参数), 以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若射线分别交
于
两点, 求
的最大值.
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