Question

6．若直线m：y=kx+1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同的A、B两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若直线l经过定点P（-1，0），且过弦AB的中点M，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直线与双曲线方程联立消去y，根据判别大于0及与双曲线x²-y²=1的左支交于不同的A、B两点，求得k的范围；
（2）表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得b关于k的表达式，根据k的范围求得b的范围．

解答 解：（1）由直线m：y=kx+1与双曲线x²-y²=1联立，消去y得（1-k²）x²-2kx-2=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}+8（1-{k}^{2}）＞0}\\{\frac{2k}{1-{k}^{2}}＜0}\\{\frac{-2}{1-{k}^{2}}＞0}\end{array}\right.$，∴1＜k＜$\sqrt{2}$；
（2）AB中点为M（$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，$\frac{1}{1-{k}^{2}}$）
∴l方程为y=$\frac{1}{k+1-{k}^{2}}$（x+1），令x=0，
得b=$\frac{1}{k+1-{k}^{2}}$=$\frac{1}{-（k-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}$，
∵1＜k＜$\sqrt{2}$，
∴b的范围是（-∞，1）∪（$\sqrt{2}$+1，+∞）．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线综合问题．用k表示b的过程即是建立目标函数的过程，本题要注意k的取值范围．