Question

经过抛物线y²=2px（p＞0）外的一点A（-2，-4）且倾斜角为45°的直线l与抛物线分别交于M₁，M₂，如果|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比数列，求p的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线l的方程：y=x-2，代入y²=2px，因为|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比数列，所以它们在X轴的投影也成等比数列，即可求出p的值．

解答： 解：直线l的方程：y=x-2，代入y²=2px，
可得x²-2（p+2）x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2（p+2），x₁x₂=4，
因为|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比数列，
所以它们在X轴的投影也成等比数列，
所以：（x₁-x₂）²=|x₁-（-2）|•|x₂-（-2）|=|x₁x₂+2（x₁+x₂）+4|，
所以（x₁+x₂）²-4x₁x₂=|x₁x₂+2（x₁+x₂）+4|，
所以p（p+4）=|p+4|
而p＞0，
所以p=1．

点评：本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查等比数列的性质，属于中档题．