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    对于无穷数列{an}，记bn=an+1-an（n∈N*），给出下列定义：
    ①若存在实数M，使an≤M成立，则称数列{an}为“有上界数列”；
    ②若{an}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使an0=M成立，则称{an}为“有最大值数列”；
    ③若bn+1-bn＜0（n∈N*），则称数列{an}为“差减小数列”．
    （Ⅰ）根据上述定义，判断数列{
    1
    n
    }，{-
    1
    2n
    }分别是那种数列？
    （Ⅱ）在数列{an}中，a1=
    		2
    ，an+1=
    		2+an
    （n∈N*），求证：数列{an}既是有上界数列又是差减小数列；（Ⅲ）若数列{an}是有上界数列且是差减小数列但不是有最大值数列，求证：无穷数列{an}为单调递增数列．
    考点：数列与函数的综合,反证法与放缩法
    专题：等差数列与等比数列
    分析：（Ⅰ）an=
    1
    n
    时，bn+1-bn=
    1
    n+1
    (
    1
    n
    -
    1
    n+2
    )＞0    ，由此得到数列{
    1
    n
    }既是由上界数列，又是有最大值数列．an=-
    1
    2n
    时，bn+1-bn=
    1
    2n+2
    -
    1
    2n+1
    =-
    1
    2n+2
    ＜0，an=-
    1
    2n
    ≤0    ，由此得到数列{-
    1
    2n
    }是差减小数列，又是有上界数列．
    （Ⅱ）假设存在某个k使得，ak＜
    		2
    ，（k＞1，k∈N * ）成立，则必有ak-1=ak2-2＜0，与已知矛盾；假设存在某个k使得，ak≥2，（n＞，n∈N*）成立，得到ak，ak-1，…，a1≥2成立，与a1=
    		2
    ＜2    矛盾，故
    		2
    ≤an＜2    ．由已知推导出bn＞(
    		2
    +
    		2
    )bn+1＞bn+1    ，bn+1-bn＜0，由此证明{an}既是差减少数列又是有上界数列．
    （Ⅲ）假设无穷数列{an}不是单调递增数列，设k为第一个使ak+1≤ak成立的自然数，则数列从第k项开始为单调递减数列，由此推导出无穷数列{an}为有最大值数列，与已知矛盾，由此得到无穷数列{an}一定是单调递增数列．
    解答： （Ⅰ）解：（i）an=
    1
    n
    ，显然an=
    1
    n
    ≤1    ，且存在n=1，a1=1，
    bn=
    1
    n+1
    -
    1
    n
    =-
    1
    n(n+1)
    ，
    bn+1-bn=-
    1
    (n+1)(n+2)
    +
    1
    n(n+1)
    =
    1
    n+1
    (
    1
    n
    -
    1
    n+2
    )＞0    ，
    所以数列{
    1
    n
    }既是由上界数列，又是有最大值数列．…（2分）
    （i）an=-
    1
    2n
    ，bn=-
    1
    2n+1
    +
    1
    2n
    =
    1
    2n+1
    ，
    bn+1-bn=
    1
    2n+2
    -
    1
    2n+1
    =-
    1
    2n+2
    ＜0，an=-
    1
    2n
    ≤0    ，
    且不存在n0，使an0=0成立；所以数列{-
    1
    2n
    }是差减小数列，又是有上界数列 …（4分）
    （Ⅱ）证明：下面用反证法证明
    		2
    ≤an＜2，
    假设存在某个k使得，ak＜
    		2
    ，（k＞1，k∈N * ）成立，
    则必有ak-1=ak2-2＜0，显然与已知矛盾，
    所以ak＜
    		2
    ，n∈N*不成立；假设存在某个k使得，ak≥2，（n＞，n∈N*）成立，
    则必有ak-1=ak2-2≥22-2=2成立，
    即得到ak，ak-1，…，a1≥2成立，与a1=
    		2
    ＜2    矛盾，所以
    		2
    ≤an＜2    ．
    又an+22=2+an+1，an+12=2+an．
    两式相减得：（an+2+an+1）（an+2-an+1）=an+1-an，即（an+2+an+1）bn+1=bn，
    即bn＞(
    		2
    +
    		2
    )bn+1＞bn+1    ，bn+1-bn＜0，
    所以{an}既是差减少数列又是有上界数列．…（4分）
    （Ⅲ）证明：用反证法，假设无穷数列{an}不是单调递增数列，
    则设k为第一个使ak+1≤ak成立的自然数，
    即bk≤0，又{an}是差减小数列，所以bk+1-bk＜0，
    即bk+1＜bk≤0，数列{bn}从第k项开始都有bn+1＜bn，
    即…＜bk+3＜bk+2＜bk+1＜bk≤0，
    又因为此时bn=an+1-an＜0，
    所以数列从第k项开始为单调递减数列，
    又由于k为第一个使ak+1≤ak成立的自然数，所以无穷数列{an}中，
    必有an≤ak=M，（n∈N*），
    无穷数列{an}为有最大值数列，与已知矛盾，所以假设不成立，
    所以无穷数列{an}一定是单调递增数列．…（5分）
    点评：本题考查{
    1
    n
    }，{-
    1
    2n
    }分别是那种数列的判断，考查数列{an}既是有上界数列又是差减小数列的证明，考查无穷数列{an}一定是单调递增数列的证明，解题时要认真审题，注意反证法和放缩法的合理运用．
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