Question

设向量

m

=（a，c），

n

=（cosC，-sinA），

m

⊥

n

，其中a，b，c分别是△A，B，C中角A，B，C所对的边．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求

3

sinA-cos（B+

π

4

）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（I））由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=acosC-csinA=0，再利用正弦定理及同角三角函数基本关系式可得tanC=1，即可得出；
（II）由（I）知：B=

3π

4

-A．利用两角和差的正弦公式、诱导公式可得

3

sinA-cos（B+

π

4

）=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，再利用A的范围和正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=acosC-csinA=0，
由正弦定理得sinCcosC-sinCsinA=0，
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴sinC=cosC，
∵cosC≠0，∴tanC=1，
∵0＜C＜π，∴C=

π

4

．
（II）由（I）知：B=

3π

4

-A．
于是

3

sinA-cos（B+

π

4

）=

3

sinA-cos（π-A）=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，
∵0＜A＜

3π

4

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

11π

12

，
∴当A+

π

6

=

π

2

时，即A=

π

3

时，sin(A+

π

6

)取得最大值1，
∴

3

sinA-cos（B+

π

4

）取得最大值2．
此时A=

π

3

，B=

5π

12

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、正弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、诱导公式、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．