Question

已知幂函数f（x）=x^m2-2m-3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求

1

f(x+a)

在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：幂函数图象及其与指数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由幂函数f（x）为（0，+∞）上递减，推知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3因为m为整数故m=0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m²-2m-3为偶数，进而推知m²-2m为奇数，进而推知m只能是1，把m代入函数，即可得到f（x）的解析式．
（2）由

1

f(x+a)

=

1

(x+a)-4

=

1

(x+a)-2

=（x+a）²，利用a的取值范围进行分类讨论，能求出

1

f(x+a)

在[1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵幂函数f（x）=x^m2-2m-3（m∈Z）为偶函数，
且在区间（0，+∞）上是减函数，
∴m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
∵m为整数，∴m=0，1或2，
又∵函数为偶函数，∴m²-2m-3为偶数，
∴m²-2m为奇数，∴m只能是1，
把m=1代入函数f（x）=x^m2-2m-3，
得f（x）=x^-4．
（2）∵

1

f(x+a)

=

1

(x+a)-4

=

1

(x+a)-2

=（x+a）²，
x∈[1，2]，
∴当a≥-1.5时，

1

f(x+a)

在[1，2]上的最小值为（a+1）²，
当a＜-1.5时，

1

f(x+a)

在[1，2]上的最小值为（a+2）²．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的最小值的求法，是基础题，解题时要注意幂函数的性质的合理运用．