Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量

m

=(a-b，c)，

m

=（a-b，c），

n

=（a-c，a+b），
且

m

与

n

共线．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设y=2sin²C+cos

A-3C

2

，求y的最大值及此时角C的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质求出cosB的值，可得B的值．
（Ⅱ）利用三角形内角和公式、辅助角公式化简函数的解析式为y=sin（2C-

π

6

）+1，利用正弦函数的值域求得它的最大值，及此时角C的大小．

解答： 解：（Ⅰ）因

m

与

n

共线，所以（a-b）（a+b）-c（a-c）=0，
即b²=a²+c²-ac，故cosB=

1

2

．
而0＜B＜π，所以B=

π

3

．
（Ⅱ）∵A=π-B-C=

2π

3

-C，
∴y=2sin2C+cos

A-3C

2

=1-cos2C+cos(

π

3

-2C)=sin(2C-

π

6

)+1，
故y_max=2，此时，因0＜C＜

2π

3

，所以C=

π

3

．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，三角形内角和公式，辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．