Question

已知命题p：夹角为m的单位向量

a

，

b

使|

a

-

b

|＞1；命题q：函数f（x）=m²sinx的导函数为f′（x），若?x₀∈R，f′（x₀）≥

4π2

5

；设符合p∧q为真的实数m的取值范围的集合为A．
（1）求集合A；
（2）若B={x|x²=πa}，且B∩A=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题

分析：（1）根据真值表，分别求出命题p，q为真时，参数的范围，建立不等式组，从而可求实数m的取值范围．
（2）由条件A∩B=φ，对字母a分类讨论，转化为关于a的不等式，解此不等式即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵向量

a

，

b

是单位向量，|

a

-

b

|＞1，
∴（

a

-

b

）²＞1，∴

a

2+

b

2-2

a

•

b

=2-2cosm＞1，cosm＜

1

2

∵0≤m≤π∴

π

3

＜m≤π．
即命题p为真时，m的取值对应的集合P=（

π

3

，π]，
f（x）=m²sinx的导函数为f′（x）=m²cosx，若?x₀∈R，f′（x₀）≥

4π2

5

，则f′（x₀）_max=m²≥

4π2

5

，
解得m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

，p∧q为真，即p和q都为真，此时有

π

3

＜m≤π与m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

同时成立，即π≥m≥

2 5 π

5

，故实数m的取值的集合为A=[

2 5 π

5

，π]．
（2）（i）若B=∅，满足B∩A=∅，
此时实数a的取值范围a＜0；
（ii）若B≠∅，则a≥0，此时B={x|x=±

πα

}，
由B∩A=∅，得-

πα

＞π，

πα

＜

2 5 π

5

，
∴0≤a＜

π

9

，或a＞

4π

5

．
综上，实数a的取值范围是（-∞，

π

9

）∪（

4π

5

，+∞）．

点评：本题的考点是集合的包含关系判断及应用，主要考查集合的关系、集合的运算，同时考查向量运算与导数的应用．集合关系中的参数取值问题，其中根据已知条件，构造出关于a的不等式组，是解答本题的关键．本题是一个中档题目．