Question

已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件（1≤x≤2），今年新增的年销量（单位：万件）与（2-x）²成正比，比例系数为4．
（1）写出今年商户甲的收益y（单位：万元）与今年的实际销售单价x间的函数关系式；
（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）直接根据题意可写出今年的销售量，从而可计算出客户甲的收益；
（2）根据（1）中建立的函数，求导，令导数等于0，求出极大值点和极大值，再求出x=2时的函数值，进行比较，最大的就是最大值．

解答： 解 （1）由题意知，今年的年销售量为1+4（x-2）²（万件）．
∵每销售一件，商户甲可获利（x-1）元，
∴今年商户甲的收益
y=[1+4（x-2）²]（x-1）
=4x³-20x²+33x-17，（1≤x≤2）．
（2）由（1）知
y=4x³-20x²+33x-17，1≤x≤2，
∴y′=12x²-40x+33=（2x-3）（6x-11）．
令y′=0，解得x=

3

2

，或x=

11

6

．列表如下：

x	（1， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ， 11 6 ）	11 6	（ 11 6 ，2）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

又f（

3

2

）=1，f（2）=1，
∴f（x）在区间[1，2]上的最大值为1（万元）．
∵往年的收益为（2-1）×1=1（万元），
∴商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．

点评：本题主要考查实际问题中的数据提取和分析能力，考查导数再求函数最大值中的应用，属于中档题．