Question

12．甲、乙两家商场对同一种商品展开促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示转盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为$\frac{π}{4}$，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有4个白球，4个红球和4个篮球的盒子中一次性摸出3球（这些球初颜色外完全相同），如果摸到的是3个不同颜色的球，即为中奖．
（Ⅰ）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？说明理由；
（Ⅱ）记在乙商场购买该商品的顾客摸到篮球的个数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用几何概率计算公式即可得出．
（II）利用超几何分布列的性质即可得出．

解答 解：（I）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，
食言的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πr²（r为圆盘的半径），阴影区域的面积为$S=\frac{{\frac{π}{4}×2}}{2π}π{r^2}=\frac{1}{4}π{r^2}$．
所以$P（A）=\frac{{\frac{1}{4}π{r^2}}}{{π{r^2}}}=\frac{1}{4}$，
设顾客去乙商场一次摸出3个不同颜色的球为事件B，则一切等可能得结果有$C_{12}^1=220$种；
所以$P（B）=\frac{54}{220}=\frac{16}{55}$．
因为P（A）＜P（B），所以顾客在乙商场中奖的可能性大些．
（Ⅱ）由题意知，X的取值为0，1，2，3．
则$P（{X=0}）=\frac{C_4^0C_8^3}{{C_{12}^3}}=\frac{12}{55}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{8}^{2}}{{∁}_{12}^{3}}$=$\frac{28}{55}$，$P（{X=2}）=\frac{C_4^2C_8^1}{{C_{12}^3}}=\frac{12}{55}$，$P（{X=3}）=\frac{C_4^3}{{C_{12}^3}}=\frac{1}{55}$，
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$

故ε的数学期望$E（X）=0×\frac{14}{55}+1×\frac{28}{55}+2×\frac{12}{55}+3×\frac{1}{55}=1$．

点评 本题考查了几何概率计算公式、超几何分布列的性质及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．