Question

7．如图，ABED是长方形，平面ABED⊥平面ABC，AB=AC=5，BC=BE=6，且M是BC的中点
（Ⅰ） 求证：AM⊥平面BEC；
（Ⅱ） 求三棱锥B-ACE的体积；
（Ⅲ）若点Q是线段AD上的一点，且平面QEC⊥平面BEC，求线段AQ的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BE⊥AM，BC⊥AM，由此能证明AM⊥平面BEC．
（Ⅱ）由V_B-ACE=V_E-ABC，能求出三棱锥B-ACE的体积．
（Ⅲ）在平面QEC内作QN⊥EC，QN交CE于点N．QN与AM共面，设该平面为a，推导出四边形AMNQ是平行四方形，由此能求出AQ．

解答 证明：（Ⅰ）∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC=AB，
BE⊥AB，BE?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，又AM?平面ABC，∴BE⊥AM．
又AB=AC，M是BC的中点，∴BC⊥AM，
又BC∩BE=B，BC?平面BEC，BE?平面BEC，
∴AM⊥平面BEC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥平面ABC，∴h=BE=6．
在Rt△ABM中，$AM=\sqrt{A{B^2}-B{M^2}}=\sqrt{{5^2}-{3^2}}=4$，
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×BC×AM=\frac{1}{2}×6×4=12$，
∴${V_{B-ACE}}={V_{E-ABC}}=\frac{1}{3}×{S_{△ABC}}×h=\frac{1}{3}×12×6=24$．
（Ⅲ）在平面QEC内作QN⊥EC，QN交CE于点N．
∵平面QEC⊥平面BEC，平面QEC∩平面BEC-EC，
∴QN⊥平面BEC，又AM⊥平面BEC．∴QN∥AM．
∴QN与AM共面，设该平面为a，∵ABED是长方形，∴AQ∥BE，
又Q?平面BEC，BE?平面BEC，∴AQ∥平面BEC，
又AQ?α，α∩平面BEC=MN，∴AQ∥MN，又QN∥AM，
∴四边形AMNQ是平行四方形．∴AQ=MN．
∵AQ∥BE，AQ∥MN，∴MN∥BE，又M是BC的中点．∴$MN=\frac{1}{2}BE=3$，
∴AQ=MN=3．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．