Question

19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}bsinA=acosB$．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若$b=3，sinC=\sqrt{3}sinA$，求a，c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理，得$\sqrt{3}sinBsinA=sinAcosB$，结合sinA≠0，可求$tanB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，由于0＜B＜π，可求B的值．
（Ⅱ）由已知及正弦定理，得$c=\sqrt{3}a$，利用余弦定理可求${a^2}+{c^2}-\sqrt{3}ac=9$，联立即可解得a，c的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\sqrt{3}bsinA=acosB$及正弦定理，得$\sqrt{3}sinBsinA=sinAcosB$．
在△ABC中，sinA≠0，∴$\sqrt{3}sinB=cosB$，∴$tanB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由$sinC=\sqrt{3}sinA$及正弦定理，得$c=\sqrt{3}a$，①
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得，${3^2}={a^2}+{c^2}-2accos\frac{π}{6}$，
即${a^2}+{c^2}-\sqrt{3}ac=9$，②
由①②，解得$a=3，c=3\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．