Question

10．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．
（1）求证：BF∥平面ADP
（2）已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF．

Answer 1

分析 （1）作FM⊥CD，垂足为M，连接BM，证明平面BFM∥平面ADP，可得BF∥平面ADP
（2）已知O是BD的中点，证明FO⊥BD，AO⊥BD，即可证明：BD⊥平面AOF．

解答 证明：（1）作FM⊥CD，垂足为M，连接BM，则DM=2PE=AB，EM∥PD
∵DM∥AB，
∴DMBA是平行四边形，
∴BM∥AD，
∵BM?平面ADP，AD?平面ADP
∴BM∥平面ADP
同理EM∥平面ADP
∵BM∩EM=M．
∴平面BFM∥平面ADP
∵BF?平面BFM，
∴BF∥平面ADP；
（2）由（1）可知FM=PE，DM=BM=2PE，∴FD=FB=$\sqrt{5}$PE，
∵O是BD的中点，∴FO⊥BD，
∵AD=AB，O是BD的中点，∴AO⊥BD，
∵AO∩FO=O，
∴BD⊥平面AOF．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．