Question

9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁⊥B₁C₁，E、F分别是A₁B、A₁C的中点．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A₁FB₁⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的性质，证明EF∥BC，即可证明EF∥平面ABC；
（2）证明A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，即可证明平面A₁FB₁⊥平面BB₁C₁C．

解答 证明：（1）∵E、F分别是A₁B、A₁C的中点，
∴EF∥BC．
又 EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
∵A₁B₁?平面A₁B₁C₁，
∴A₁B₁⊥BB₁．
又 A₁B₁⊥B₁C₁，BB₁∩B₁C₁=B₁，BB₁，B₁C₁?平面BB₁C₁C．
∴A₁B₁⊥平面BB₁C₁C．
又 A₁B₁?平面A₁FB₁，
∴平面A₁FB₁⊥平面BB₁C₁C．

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．