Question

2．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），$（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的最小正周期为π，且图象关于x=$\frac{π}{3}$对称．
（1）求ω和φ的值；
（2）将函数f（x）的图象上所有横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间以及g（x）≥1的x取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，利用正弦函数的单调性求得g（x）的单调递增区间，利用正弦函数的图象求得g（x）≥1的x取值范围．

解答 解：（1）由已知可得$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2，
又f（x）的图象关于$x=\frac{π}{3}$对称，
∴$2•\frac{π}{3}+φ=kπ+\frac{π}{2}$，∴$φ=kπ-\frac{π}{6}$，∵$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=-\frac{π}{6}$．
（2）由（1）可得$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$，
∵将函数f（x）的图象上所有横坐标伸长到原来的4倍，
再向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，∴$g（x）=2sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$4kπ-\frac{π}{3}≤x≤4kπ+\frac{5π}{3}$，
故g（x）的单调递增区间为$[{4kπ-\frac{π}{3}，4kπ+\frac{5π}{3}}]$，k∈Z．
由g（x）≥1，可得$sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}}）≥\frac{1}{2}$，∴$2kπ+\frac{π}{6}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{5π}{6}$，
∴$4kπ-π≤x≤4kπ+\frac{7π}{3}$，k∈Z，
即要求的x的取值范围为{x|$4kπ-π≤x≤4kπ+\frac{7π}{3}$，k∈Z  }．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由图 象的对称性求出φ的值；y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，解关于三角函数的不等式，属于中档题．