Question

14．已知实x，y数满足$\left\{\begin{array}{l}{y≤lnx}\\{x-2y-3≤0}\\{y+1≥0}\end{array}\right.$，则$z=\frac{y+1}{x}$的取值范围为[0，1]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由$z=\frac{y+1}{x}$的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率结合导数求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤lnx}\\{x-2y-3≤0}\\{y+1≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

$z=\frac{y+1}{x}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率．
设过P（0，-1）的直线与曲线y=lnx相切于点B（x₀，lnx₀），
则$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}$，切线方程为y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
把（0，-1）代入得：-1-lnx₀=-1，得x₀=1．
∴切线的斜率为1．
则$z=\frac{y+1}{x}$的取值范围为[0，1]．
故答案为：[0，1]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．