Question

19．已知函数f（x）=|x+2|-|x-2|+m（m∈R）．
（Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分x≤-2，-2＜x＜2，x≥2三种情况求解；
（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x-2|-|x+2|．令$h（x）=x+|x-2|-|x+2|=\left\{\begin{array}{l}x+4，x＜-2\\-x，-2≤x≤2\\ x-4，x＞2.\end{array}\right.$作出图象如图所示．根据图象求解．

解答 解：（Ⅰ）∵m=1时，f（x）=|x+2|-|x-2|+1．
∴当x≤-2时，f（x）=-3，不可能非负；
当-2＜x＜2时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得$x≥-\frac{1}{2}$，于是$-\frac{1}{2}≤x＜2$；
当x≥2时，f（x）=5＞0恒成立．
所以不等式f（x）≥0的解集为$[-\frac{1}{2}，+∞）$．
（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x-2|-|x+2|．
令$h（x）=x+|x-2|-|x+2|=\left\{\begin{array}{l}x+4，x＜-2\\-x，-2≤x≤2\\ x-4，x＞2.\end{array}\right.$
作出图象如图所示．
于是由题意可得-2＜m＜2．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方程的思想，属于中档题．