Question

11．已知函数f（x）=2sinx+tanx-2x．
（1）证明：函数f（x）在$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$上单调递增；
（2）若$x∈（0，\frac{π}{2}）$，f（x）＜mx²，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到导函数是非负数，求出函数的单调性即可；
（2）通过讨论m的范围，结合函数的单调性求出m的具体范围即可．

解答 解：（1）证明：$f'（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-2$，
因为$x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，所以cosx∈（0，1]，
于是$f'（x）=2cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-2≥{cos^2}x+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-2≥0$（等号当且仅当x=0时成立）．
故函数f（x）在$（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$上单调递增．
（2）由（1）得f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递增，
又f（0）=0，所以f（x）＞0，
（ⅰ）当m≤0时，f（x）＞0≥mx²成立．
（ⅱ）当m＞0时，令p（x）=sinx-x，则p'（x）=cosx-1，
当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，
又p（0）=0，所以p（x）＜0，
故$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，sinx＜x．（*）
由（*）式可得f（x）-mx²=sinx+tanx-2x-mx²＜tanx-x-mx²，
令g（x）=tanx-x-mx²，则g'（x）=tan²x-2mx
由（*）式可得$g'（x）＜\frac{x^2}{{{{cos}^2}x}}-2mx=\frac{x}{{{{cos}^2}x}}（x-2m{cos^2}x）$
令h（x）=x-2mcos²x，得h（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递增，
又h（0）＜0，$h（\frac{π}{2}）＞0$，所以存在$t∈（0，\frac{π}{2}）$使得h（t）=0，
即x∈（0，t）时，h（x）＜0，
所以x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
又g（0）=0，所以g（x）＜0，
即x∈（0，t）时，f（x）-mx²＜0，与f（x）＞mx²矛盾．
综上，满足条件的m的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．