Question

20．若${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+…+${C}_{n}^{n}$=256，则${（x+\frac{1}{2\sqrt{x}}）}^{n}$的展开式中含x⁵项的系数为7．（用数字作答）

Answer 1

分析 根据组合数公式求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中含x⁵项的系数．

解答 解：${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+…+${C}_{n}^{n}$=2ⁿ=256，
∴n=8；
∴${（x+\frac{1}{2\sqrt{x}}）}^{8}$展开式中，通项公式为：
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\frac{1}{2\sqrt{x}}）}^{r}$=${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${C}_{8}^{r}$•${x}^{8-\frac{3}{2}r}$，
令8-$\frac{3}{2}$r=5，解得r=2；
∴展开式中含x⁵项的系数为${（\frac{1}{2}）}^{2}$•${C}_{8}^{2}$=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了组合数公式与二项式定理的应用问题，是基础题．