Question

5．在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCE，四边形ABED为平行四边形，AB=AC=BC=2，CE=1，BE=$\sqrt{5}$，O为AC的中点．
（1）求证：BO⊥AE；
（2）求平面ABC与平面ACD所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出BO⊥AC，BC⊥CE，则CE⊥平面ABC，从而CE⊥BO，进而BO⊥平面ACE，由此能证明BO⊥AE．
（2）以C为原点，CB为x轴，CE为y轴，建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出平面ABC与平面ACD所成锐二面角的大小．

解答 证明：（1）∵AB=AC=BC=2，
又O为AC中点，
∴BO⊥AC…（1分）
又$CE=1，BE=\sqrt{5}，BC=2$，
∴BC²+CE²=BE²，∴BC⊥CE…（3分）
又∵平面ABC⊥平面BCE，
且平面ABC∩平面BCE=BC，
∴CE⊥平面ABC…（4分）
∴CE⊥BO，又CE∩AC=C，∴BO⊥平面ACE…（5分）
∵AE?平面ACE，∴BO⊥AE．…（6分）
解：（2）以C为原点，CB为x轴，CE为y轴，
建立空间直角坐标系C-xyz，
则$A（{1，0，\sqrt{3}}），E（{0，1，0}），B（{2，0，0}），C（{0，0，0}）$…（7分）
∵$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{ED}∴\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CE}=（{-1，0，\sqrt{3}}），\overrightarrow{CD}=（{-1，1，\sqrt{3}}）$…（8分）
由（1）知，$\overrightarrow{CE}=（0，1，0）$是平面ABC的平面角，
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AD}=（{-2，1，0}）、\overrightarrow{CD}=（{-1，1，\sqrt{3}}）$
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=-2x+y=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=-x+y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$…（9分）
取x=1，得$\overrightarrow n=（1，2，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$…（10分）
设平面ABC与平面ACD所成锐二面角为θ，
则$cosθ=|{cos\left?{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}}\right＞}|=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}}|}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{CE}}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（11分）
∴$θ=\frac{π}{6}$，∴平面ABC与平面ACD所成锐二面角的大小为$\frac{π}{6}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角所成锐角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．