Question

解关于x的不等式：
（1）x²-2（a+1）x+1＜0（a∈R）；
（2）ax²-（a-8）x+1＞0（a∈R）．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）对△分类讨论，即可得出不等式的解集；
（2）对a和△分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）△=4（a+1）²-4=0时，解得a=0或-2．
当a=0或-2时，不等式化为（x±1）²＜0，此时不等式的解集为∅．
由△＞0解得a＞0或a＜-2，此时不等式化为[x-(a+1)-

a2+2a

] [x-(a+1)+

a2+2a

]＜0，
解得a+1-

a2+2a

＜x＜a+1+

a2+2a

，此时不等式的解集为：
{x|a+1-

a2+2a

＜x＜a+1+

a2+2a

}；
△＜0时，即-2＜a＜0时，不等式的解集为∅．
综上可得：-2≤a≤0时，不等式的解集为∅；
当a＞0或a＜-2时，不等式的解集为{x|a+1-

a2+2a

＜x＜a+1+

a2+2a

}．
（2）当a=0时，不等式化为8x+1＞0，解得x＞-

1

8

，此时不等式的解集为{x|x＞-

1

8

}．
当a≠0时，由△=（a-8）²-4a＞0，解得a＞16或a＜4．
∴当a＞16或a＜4且a≠0时，不等式化为a(x-

a-8+ a2-20a+64

2a

)(x-

a-8- a2-20a+64

2a

)＞0．
当a＞16或0＜a＜4时，不等式的解集为{x|x＞

a-8+ a2-20a+64

2a

或x＜

a-8- a2-20a+64

2a

}．
当a＜0时，不等式的解集为{x|

a-8- a2-20a+64

2a

＜x＜

a-8+ a2-20a+64

2a

}．
综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞-

1

8

}．
当a＞16或0＜a＜4时，不等式的解集为{xx＞

a-8+ a2-20a+64

2a

或x＜

a-8- a2-20a+64

2a

}．
当a＜0时，不等式的解集为{x|

a-8- a2-20a+64

2a

＜x＜

a-8+ a2-20a+64

2a

}．

点评：本题考查了一元二次不等式和一元二次方程的解法和分类讨论，考查了推理能力和计算能力，属于难题．