Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）求函数f（x）=|x-1|+|x+2|的值域；
（2）若对任意实数a，b（b≠0），|b|f（x）≤|a+3b|+|a-2b|恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值三角不等式的几何意义即可求得函数f（x）=|x-1|+|x+2|的值域；
（2）依题意，f（x）≤

|a+3b|+|a-2b|

|b|

=|

a

b

+3|+|

a

b

-2|，又|

a

b

+3|+|

a

b

-2|≥5，于是得|x-1|+|x+2|≤5，通过分类讨论，去掉绝对值符号，解之即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-1|+|x+2|≥|（1-x）+（x+2）|=3，
∴函数f（x）=|x-1|+|x+2|的值域为[3，+∞）…（5分）
（2）因为b≠0，所以f（x）≤

|a+3b|+|a-2b|

|b|

=|

a

b

+3|+|

a

b

-2|对任意实数a，b（b≠0）恒成立，|
由绝对值三角不等式的性质可得：|

a

b

+3|+|

a

b

-2|≥5，…8分
所以f（x）≤5，即|x-1|+|x+2|≤5…10分
当x＜-2时，1-x-x-2≤5，解得：-3≤x＜-2；
当-2≤x≤1时，1-x+x=2=3≤5恒成立；
当x＞1时，x-1+x+2≤5，解得：1＜x≤2…11分
综上所述，实数x的取值范围为[-3，2]…12分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式的性质及其应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．