Question

已知：-

π

2

＜x＜0，sinx+cosx=

1

5

．
（Ⅰ）求sinx-cosx的值；
（Ⅱ）求

cos(π-x)cos( π 2 -x)tan(-π+x)

sin2( π 2 +x)-sin2(π+x)

的值．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出2sinxcosx的值，再利用完全平方公式即可求出sinx-cosx的值；
（Ⅱ）根据第一问求出sinx与cosx的值，原式利用诱导公式化简后，将sinx与cosx的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）将sinx+cosx=

1

5

，两边平方得：（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=

1

25

，即2sinxcosx=-

24

25

，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=

49

25

，
∵-

π

2

＜x＜0，∴cosx＞0，sinx＜0，即sinx-cosx＜0，
则sinx-cosx=-

7

5

；
（Ⅱ）由已知条件：

sinx+cosx= 1 5 sinx-cosx=- 7 5

，
解得：

sinx=- 3 5 cosx= 4 5

，
则原式=

-cosxsinxtanx

cos2x-sin2x

=

-sin2x

cos2x-sin2x

=

- 9 25

16 25 - 9 25

=-

9

7

．

点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．