Question

已知不过原点的直线l 与y=x²交于A、B两点，若使得以AB为直径的圆过原点，则直线l必过点（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，0）
• C、（0，2）
• D、（1，0），（-1，0）

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：令直线y=kx+b（b≠0）与抛物线方程y=x²联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB即可求得b的值，从而可证直线l过定点．

解答： 解：令直线y=kx+b（b≠0）与抛物线y=x²相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点．
由y=kx+b，代入y=x²得：x²-kx-b=0
于是，x₁、x₂是此方程的两实根，由韦达定理得：x₁+x₂=k，x₁x₂=-b
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=b²，
又OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0
∴b²-b=0，又b≠0，
∴b=1
故直线l：y=kx+1过定点C（0，1）．
故选：A．

点评：本题考查恒过定点的直线，考查韦达定理的应用，求得b的值是关键，也是难点，属于中档题．