Question

【题目】设a∈R，函数f（x）=x2e1﹣x﹣a（x﹣1）．
（1）当a=1时，求f（x）在（ ，2）内的极大值；
（2）设函数g（x）=f（x）+a（x﹣1﹣e1﹣x），当g（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）时，总有x2g（x1）≤λf′（x1），求实数λ的值．（其中f′（x）是f（x）的导函数．）

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=x2e1﹣x﹣（x﹣1），则f'（x）=（2x﹣x2）e1﹣x﹣1= ，

令h（x）=（2x﹣x2）﹣ex﹣1，则h'（x）=2﹣2x﹣ex﹣1，

显然h'（x）在（ ，2）内是减函数，

又因h'（ ）= ＜0，故在（ ，2）内，总有h'（x）＜0，

∴h（x）在（ ，2）上是减函数，

又因h（1）=0，

∴当x∈（ ，1）时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，这时f（x）单调递增，

当x∈（1，2）时，h（x）＜0，从而f'（x）＜0，这时f（x）单调递减，

∴f（x）在（ ，2）的极大值是f（1）=1．

（2）解：由题意可知g（x）=（x2﹣a）e1﹣x，则g'（x）=（2x﹣x2+a）e1﹣x=（﹣x2+2x+a）e1﹣x．

根据题意，方程﹣x2+2x+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），

∴△=4+4a＞0，即a＞﹣1，且x1+x2=2，∵x1＜x2，∴x1＜1．

由x2g（x1）≤λf′（x1），其中f'（x）=（2x﹣x2）e1﹣x﹣a，

可得（2﹣x1）（ ） ，

注意到 ，

∴上式化为（2﹣x1）（2x1） ，

即不等式 ≤0对任意的x1∈（﹣∞，1）恒成立，

（i）当x1=0时，不等式 ≤0恒成立，λ∈R；

（ii）当x1∈（0，1）时， 恒成立，即 ．

令函数k（x）= =2﹣ ，显然，k（x）是R上的减函数，

∴当x∈（0，1）时，k（x）＜k（0）= ，∴ ；

（iii）当x1∈（﹣∞，0）时， ≥0恒成立，即 ．

由（ii），当x∈（﹣∞，0）时，k（x）＞k（0）= ，∴ ；

综上所述， ．

【解析】（1）当a=1时，可求得f'（x）= ，令h（x）=（2x﹣x2）﹣ex﹣1 ， 利用导数可判断h（x）的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；（2）表示出g（x），并求得g'（x）=（﹣x2+2x+a）e1﹣x ， 由题意，得方程﹣x2+2x+a=0有两个不同的实根x1 ， x2（x1＜x2），从而可得△=4+4a＞0及x1+x2=2，由x1＜x2 ， 得x1＜1．则x2g（x1）≤λf′（x1）可化为 ≤0对任意的x1∈（﹣∞，1）恒成立，按照x1=0、x1∈（0，1）、x1∈（﹣∞，0）三种情况分类讨论，分离参数λ后转化为求函数的最值可解决；
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．