Question

18．（1）若函数y=f（4^x）的定义域为[0，1]，求函数y=f（log₂x）的定义域．
（2）对于函数f（x）=lg（ax²+2x+1）．若f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得1≤4^x≤4，可得1≤log₂x≤4，解不等式可得答案；
（2）问题等价于对任意x∈R有ax²+2x+1＞0，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解关于a的不等式组可得．

解答 解：（1）∵函数y=f（4^x）的定义域为[0，1]，
∴1≤4^x≤4，∴1≤log₂x≤4，
即log₂2≤log₂x≤log₂16，
解得2≤x≤16
∴函数y=f（log₂x）的定义域为[2，16]；
（2）∵函数f（x）=lg（ax²+2x+1）的定义域为R，
∴对任意x∈R有ax²+2x+1＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1．

点评 本题考查函数的定义域，涉及指数函数和对数函数以及二次函数的知识，属基础题．