Question

9．设函数f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-1（a为实数）．
（1）当a=0时，若函数y=g（x）为奇函数，且在x＞0时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）的解析式；
（2）当a＜0时，求关于x的方程f（x）=0在实数集R上的解．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，函数f（x）=2^x-1，结合在x＞0时，g（x）=f（x），函数y=g（x）为奇函数，利用奇函数的性质，可得函数y=g（x）的解析式；
（2）令t=2^x，则t＞0，则方程f（x）=0可化为：t+$\frac{a}{t}$-1=0，结合a＜0，解方程，可得答案．

解答 解：（1）当a=0时，函数f（x）=2^x-1，
∵函数y=g（x）为奇函数，且x＞0时，g（x）=f（x）=2^x-1，
∴当x＜0时，-x＞0，此时g（-x）=2^-x-1=-g（x），
即g（x）=1-2^-x，
又∵当x=0时，g（x）=0，
∴y=g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{x}-1，x≥0\\ 1-{2}^{-x}，x＜0\end{array}\right.$；
（2）令t=2^x，则t＞0，
则方程f（x）=0可化为：t+$\frac{a}{t}$-1=0，
解得：t=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$，或t=$\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}$（舍去），
故x=${log}_{2}\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，指数方程的求解，难度中档．