Question

11．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，G为三角形的重心，满足$\sqrt{3}$（a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$）+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，则角C=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根据重心的性质得出$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$，结合条件可知$\sqrt{3}a=\sqrt{3}b=c$，利用余弦定理解出cosC．

解答 解：∵G为三角形ABC的重心，∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$，
∵$\sqrt{3}$（a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$）+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\sqrt{3}a=\sqrt{3}b=c$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}-3{a}^{2}}{2{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了三角形重心的性质，余弦定理，属于中档题．