Question

6．已知椭圆M：x²+2y²=2．
（Ⅰ）求椭圆M的离心率；
（Ⅱ）设O为坐标原点，A，B，C为椭圆M上的三个动点，若四边形OABC为平行四边形，判断△ABC的面积是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆M化为标准方程，由此能求出椭圆M的离心率．
（Ⅱ）若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC垂直平分OB，求出△OAC的面积为$\frac{\sqrt{6}}{4}$；若B不是椭圆的左右顶点，设AC：y=kx+m，k≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式求出△ABC的面积，从而得到△ABC的面积为定值$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆M：x²+2y²=2，
∴椭圆M的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
∴椭圆M的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC垂直平分OB，
∴A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\sqrt{2}$，0），
|AC|=$\sqrt{3}$，|OB|=$\sqrt{2}$，
∴△OAC的面积${S}_{△OAC}=\frac{1}{2}|AC|•\frac{1}{2}|OB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$．
②若B不是椭圆的左右顶点，设AC：y=kx+m，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-20=0，
△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{2{k}^{2}+1}$，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴OB=OA+OC=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{2m}{2{k}^{2}+1}$），
∴B（-$\frac{4km}{2{k}^{2}+12}$，$\frac{2m}{{k}^{2}+1}$），
代入椭圆方程，化简，得2k²+14=m²，
∵|AC|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}）^{2}-\frac{4（2{m}^{2}-2）}{2{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{22}•\sqrt{2{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$
=$\frac{\sqrt{6}•\sqrt{1+{k}^{2}}}{2|m|}$，
点O到直线AC的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴△OAC的面积S_△OAC=$\frac{1}{2}|AC|d$
=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}\sqrt{1+{k}^{2}}}{2|m|}×\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
综上，△OAC的面积为定值$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∵△OAC的面积=△ABC的面积，
∴△ABC的面积为定值$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查三角形的面积是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．