Question

14．已知函数f（x）=$\frac{a（x-1）}{x+1}$-lnx在[1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a＜1
• B． a＜2
• C． a≤2
• D． a≤3

Answer 1

分析 根据题意，已知f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，即f′（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边即参变量分离，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可求解．

解答 解：∵f（x）=$\frac{a（x-1）}{x+1}$-lnx，
∴f′（x）=$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∵f（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴x∈[1，+∞）时，f′（x）=$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$≤0恒成立．
即2a≤x+$\frac{1}{x}$+2恒成立．
∵x∈[1，+∞）时，x+$\frac{1}{x}$+2≥4，
∴2a≤4，
∴a≤2．
故选：C．

点评 本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题，解题的关键将题目转化成f′（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立进行求解，同时考查了参数分离法，属于中档题．