Question

4．某商场柜台销售某种产品，每件产品的成本为10元，并且每件产品需向该商场交a元（3≤a≤7）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（20≤x≤25）时，一天的销售量为（x-30）²件．
（Ⅰ）求该柜台一天的利润f（x）（元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该柜台一天的利润f（x）最大，并求出f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出每件产品的利润，乘以价格得到利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）求出利润函数的导函数，由a的范围得到导函数零点的范围，分类讨论原函数在[9，11]上的单调性，并求出a在不同范围内的利润函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x-30）²（x-10-a），20≤x≤25…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=2（x-30）•（x-10-a）+（x-30）²=（3x-2a-50）（x-30）．…（4分）
令f'（x）=0，则$x=\frac{2a+50}{3}$或x=30，…（5分）
∵$3≤a≤7∴\frac{56}{3}≤\frac{2a+50}{3}≤\frac{64}{3}$…（6分）
∴①若$\frac{2a+50}{3}≤20$，即3≤a≤5时，f'（x）≤0，x∈[20，25]，
∴f（x）在[20，25]上是减函数．
∴$f{（x）_{max}}=f（20）={（30-20）^2}（20-10-a）$=100（10-a）=1000-10a…（8分）
②若5＜a≤7时，$\frac{2a+50}{3}∈[20，25]$
当$x∈[20，\frac{3a+50}{3}]$时，f'（x）＞0，此时f（x）在$[20，\frac{3a+50}{3}]$是增函数；
当$x∈[\frac{3a+50}{3}，25]$时，f'（x）＜0，此时f（x）在$[\frac{3a+50}{3}，25]$是减函数．
∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{2a+50}{3}）={（30-\frac{2a+50}{3}）^2}（\frac{2a+50}{3}-10-a）$=${（\frac{2a-40}{3}）^2}（\frac{20-a}{3}）=-\frac{{4{{（a-20）}^3}}}{27}$…（11分）
∴当3≤a≤5时，售价为20元时利润最大，最大利润g（a）为1000-10a；
当5＜a≤7时，售价为$\frac{2a+50}{3}$元时利润最大，最大利润g（a）为$-\frac{{4{{（a-20）}^3}}}{27}$．…（12分）

点评 本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，是中档题．