Question

19．（1）求$y=sin（2x-\frac{π}{6}）+2，x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}}]$的值域．
（2）求函数y=sin²x-acosx+3，x∈[0，π]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直接由x的范围求得相位的范围，则函数的值域可求；
（2）化正弦为余弦，然后换元，配方后对a分类讨论求得函数的最值．

解答 解：（1）当x∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]时，2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{7π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（2x$-\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴$y=sin（2x-\frac{π}{6}）+2，x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}}]$的值域∈[1，3]；
（2）当x∈[0，π]时，设t=cosx∈[-1，1]，
∴函数y=sin²x-acosx+3=（1-cos²x）-acosx+3
=-cos²x-acosx+4=-（cosx+$\frac{a}{2}$）²+4+$\frac{{a}^{2}}{4}$=$-（t+\frac{a}{2}）^{2}+4+\frac{{a}^{2}}{4}$，
由二次函数可知：
当$-\frac{a}{2}≤-1$，即a≥2时，函数取最大值3+a，最小值为3-a；
当-1$＜-\frac{a}{2}≤0$，即0≤a＜2时，函数取最大值$4+\frac{{a}^{2}}{4}$，取最小值3-a；
当0＜$-\frac{a}{2}＜1$，即-2＜a＜0时，函数取得最大值$4+\frac{{a}^{2}}{4}$，最小值为3+a；
当$-\frac{a}{2}≥1$，即a≤-2时，函数取得最大值3-a，最小值为3+a．

点评 本题考查三角函数的最值，考查换元法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．