Question

4．在平面直角坐标系xOy中，圆x²+y²=4上的一点P（x₀，y₀）（x₀，y₀＞0）处的切线l分别交x轴，y轴于点A，B，以A，B为顶点且以O为中心的椭圆记作C，直线OP交C于M，N两点．
（1）若椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求P点的坐标
（2）证明四边形AMBN的面积S＞8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）运用直线的斜率公式，可得直线l的方程，求得A，B的坐标，可得椭圆的方程，讨论焦点位置，运用离心率公式可得P的坐标；
（2）直线OP的斜率为k，依题意有k＞0且k≠1，直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为$y-{y_0}=-\frac{1}{k}（{x-{x_0}}）$，
，求得A，B的坐标，椭圆方程，代入直线y=kx，求得M，N的坐标，可得|OM|，|AB|，运用四边形的面积公式和基本不等式，化简整理，即可得到结论．

解答 解：（1）依题意${k_{OP}}=\frac{y_0}{x_0}$，${k_l}=-\frac{x_0}{y_0}$，直线l方程为$y-{y_0}=-\frac{x_0}{y_0}（{x-{x_0}}）$，
令x=0，得$y=\frac{x_0^2}{y_0}+{y_0}=\frac{4}{y_0}$，令y=0，得$x=\frac{y_0^2}{x_0}+{x_0}=\frac{4}{x_0}$，
即有$A（{\frac{4}{x_0}，0}），B（{0，\frac{4}{y_0}}）$，
椭圆C的方程为$\frac{x^2}{{{{（{\frac{4}{x_0}}）}^2}}}+\frac{y^2}{{{{（{\frac{4}{y_0}}）}^2}}}=1$，
①若x₀＞y₀，则椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-{{（{\frac{b}{a}}）}^2}}=\sqrt{1-{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^2}}$，
由$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，得$\frac{y_0}{x_0}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，而$x_0^2+y_0^2=4$，
解得${x_0}=\sqrt{3}，{y_0}=1$，则$P（{\sqrt{3}，1}）$；
②若x₀＜y₀，同理可得$P（{1，\sqrt{3}}）$；
综上可得P点坐标为$（{\sqrt{3}，1}）$，$（{1，\sqrt{3}}）$；
（2）证明：直线OP的斜率为k，依题意有k＞0且k≠1，
直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为$y-{y_0}=-\frac{1}{k}（{x-{x_0}}）$，
令x=0，得$y=\frac{x_0}{k}+{y_0}$，令y=0，得x=ky₀+x₀，
可得$A（{k{y_0}+{x_0}，0}），B（{0，\frac{x_0}{k}+{y_0}}）$，
椭圆C的方程$\frac{x^2}{{{{（{k{y_0}+{x_0}}）}^2}}}+\frac{y^2}{{{{（{\frac{x_0}{k}+{y_0}}）}^2}}}=1$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{x^2}{{{{（{k{y_0}+{x_0}}）}^2}}}+\frac{y^2}{{{{（{\frac{x_0}{k}+{y_0}}）}^2}}}=1}\end{array}}\right.$，
解出$x=±\frac{1}{{\sqrt{\frac{1}{{{{（{k{y_0}+{x_0}}）}^2}}}+\frac{k^2}{{{{（{\frac{x_0}{k}+{y_0}}）}^2}}}=1}}}=±\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}$，
可得$M（{\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}，k\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}}）$，$N（{-\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}，-k\frac{{{x_0}+k{y_0}}}{{\sqrt{1+{k^4}}}}}）$，
即有${|{OM}|^2}=\frac{{{{（{{x_0}+k{y_0}}）}^2}}}{{1+{k^4}}}+{k^2}\frac{{{{（{{x_0}+k{y_0}}）}^2}}}{{1+{k^4}}}=\frac{{1+{k^2}}}{{1+{k^4}}}{（{{x_0}+k{y_0}}）^2}$
=$\frac{{1+{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^2}}}{{1+{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^4}}}{（{{x_0}+\frac{y_0}{x_0}{y_0}}）^2}=\frac{{\frac{x_0^2+y_0^2}{x_0^2}}}{{\frac{x_0^4+y_0^4}{x_0^4}}}{（{\frac{x_0^2+y_0^2}{x_0}}）^2}=\frac{{4{{（{x_0^2+y_0^2}）}^2}}}{x_0^4+y_0^4}$
=$4（{\frac{x_0^4+2x_0^2y_0^2+y_0^4}{x_0^4+y_0^4}}）=4（{1+\frac{2x_0^2y_0^2}{x_0^4+y_0^4}}）=4（{1+\frac{2}{{{{（{\frac{x_0}{y_0}}）}^2}+{{（{\frac{y_0}{x_0}}）}^2}}}}）$
=$4（{1+\frac{2}{{\frac{1}{k^2}+{k^2}}}}）=4（{1+\frac{2}{{{{（{\frac{1}{k}+k}）}^2}-2}}}）$，
即有$|{OM}|=2\sqrt{（{1+\frac{2}{{{{（{\frac{1}{k}+k}）}^2}-2}}}）}$，
|AB|=$\sqrt{（k{y}_{0}+{x}_{0}）^{2}+（{y}_{0}+\frac{{x}_{0}}{k}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}•{y}_{0}+{x}_{0}）^{2}+（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{y}_{0}}+{y}_{0}）^{2}}$
=$\sqrt{{{（{\frac{4}{x_0}}）}^2}+{{（{\frac{4}{y_0}}）}^2}}=4\sqrt{\frac{x_0^2+y_0^2}{x_0^2y_0^2}}=\frac{8}{{{x_0}{y_0}}}=2\frac{4}{{{x_0}{y_0}}}=2\frac{x_0^2+y_0^2}{{{x_0}{y_0}}}$=$2（{\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0}}）=2（{\frac{1}{k}+k}）$，
可得S=$\frac{1}{2}$|AB|•|MN|=4（k+$\frac{1}{k}$）•$\sqrt{1+\frac{2}{（k+\frac{1}{k}）^{2}-2}}$，
令t=k+$\frac{1}{k}$（t＞2），则f（t）=t²（1+$\frac{2}{{t}^{2}-2}$）=（t²-2）+$\frac{4}{{t}^{2}-2}$+4
＞2$\sqrt{（{t}^{2}-2）•\frac{4}{{t}^{2}-2}}$+4=8，
即有f（t）＞8，故$S＞4\sqrt{8}=8\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程及运用，以及离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，解方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于难题．