Question

9．设椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距：
（1）求椭圆Г的标准方程；
（2）设C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆Г上任意一点，若$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OC}+n\overrightarrow{OD}$，求证：m²+n²为定值；
（3）过点F的直线l与椭圆Г交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆Г的标准方程．
（2）求出C（2，$\sqrt{3}$），D（-2，$\sqrt{3}$），设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，由已知$\overrightarrow{OP}$=$m\overrightarrow{OC}+n\overrightarrow{OD}$，得$\frac{4（m-n）^{2}}{4}+\frac{3（m+n）^{2}}{3}$=1，由此能证明m²+n²=$\frac{1}{2}$为定值．
（3）$\frac{{S}_{△BFM}}{{S}_{△BFN}}$=2等价于$\frac{|FM|}{|FN|}$=2，设l：y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{|BF|=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆Г的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
证明：（2）∵C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，
∴C（2，$\sqrt{3}$），D（-2，$\sqrt{3}$），设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，
由已知$\overrightarrow{OP}$=$m\overrightarrow{OC}+n\overrightarrow{OD}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2（m-n）}\\{{y}_{0}=\sqrt{3}（m+n）}\end{array}\right.$，
∴$\frac{4（m-n）^{2}}{4}+\frac{3（m+n）^{2}}{3}$=1，
∴m²+n²=$\frac{1}{2}$为定值．
解：（3）$\frac{{S}_{△BFM}}{{S}_{△BFN}}$=2等价于$\frac{|FM|}{|FN|}$=2，
当直线l的斜率不存在时，$\frac{|FM|}{|FN|}$=1，不合题意，
故直线l的斜率存在，设l：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
由$\frac{|FM|}{|FN|}$=2，得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=-2，则${y}_{2}=\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$，${{y}_{2}}^{2}=\frac{9{k}^{2}}{2（3+4{k}^{2}）}$，
∴3+4k²=8，k=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴直线l的方程为y=$±\frac{\sqrt{5}}{2}（x-1）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查代数和为定值的证明，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、向量知识、直线方程、韦达定理的合理运用．