Question

4．已知椭圆Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点；
（1）求椭圆Г的方程；
（2）设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：$\frac{1}{O{A}^{2}}+\frac{1}{O{B}^{2}}$为定值；
（3）设点C在椭圆Г上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD的距离为常数$\sqrt{3}$，求动点D的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出椭圆Г的方程．
（2）设A（x₀，y₀），则OB的方程x₀x+y₀y=0，由y=2，得B（-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），由此能证明$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$为定值$\frac{1}{2}$．
（3）设C（x₀，y₀），D（x，y），由OC⊥OD，得x₀x+y₀y=0，又C点在椭圆上，得：$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，从而${{x}_{0}}^{2}=\frac{4{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，${{y}_{0}}^{2}=\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，由此能求出D点轨迹方程．

解答 解：（1）∵椭圆Γ：$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点，
∴b=c=$\sqrt{2}$，∴$a=\sqrt{2+2}$=2，
∴椭圆Г的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
证明：（2）设A（x₀，y₀），则OB的方程x₀x+y₀y=0，
由y=2，得B（-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），
∴$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}+4}$=$\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{4（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）}$=$\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{4（{{x}_{0}}^{2}+2-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}）}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$为定值$\frac{1}{2}$．
解：（3）设C（x₀，y₀），D（x，y），由OC⊥OD，得x₀x+y₀y=0，①
又C点在椭圆上，得：$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，②
联立①②，得：${{x}_{0}}^{2}=\frac{4{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，${{y}_{0}}^{2}=\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，③
由OC⊥OD，得OC•OD=$\sqrt{3}$CD，
∴OC²•OD²=3（OC²+OD²），
∴将③代入得：
$\frac{1}{O{C}^{2}}+\frac{1}{O{D}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$
=$\frac{1}{\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$
=$\frac{2{x}^{2}+{y}^{2}+4}{4（{x}^{2}+{y}^{2}）}$=$\frac{1}{3}$，
化简，得D点轨迹为$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{6}=1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查代数式和为定值的证明，考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质及椭圆与直线的位置关系的合理运用．