Question

19．已知函数f（x）=x|x-a|+a²-7（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=|x+a|（a∈R），若对任意x₁≤1．总存在x₂≥2，使g（x₁）＞f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）写出分段函数，分类讨论，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）分类讨论，利用对任意x₁≤1．总存在x₂≥2，使g（x₁）＞f（x₂）成立，等价于g（x）＞f（x）_min，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=x|x-a|+a²-7=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}-7，x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{5}{4}{a}^{2}-7，x＜a}\end{array}\right.$．
∴a=0时，函数的单调递增区间为R，
a＞0时，函数的单调递增区间为（-∞，$\frac{a}{2}$），（a，+∞）；单调递减区间为（$\frac{a}{2}$，a）；
a＜0时，函数的单调递增区间为（-∞，a），（$\frac{a}{2}$，+∞）；单调递减区间为（a，$\frac{a}{2}$）；
（2）a=0时，f（x）=x|x|-7，g（x）=|x|，函数f（x）的单调递增区间为R，x₂≥2，f（x）_min=-3，对任意x₁≤1，g（x）≥0，满足题意；
a≥2，x₂≥2，f（x）_min=a²-2a-3，对任意x₁≤1，g（x）≥0，
∴0＞a²-2a-3，∴-1＜a＜3，∴2≤a＜3；
0＜a＜2，x₂≥2，f（x）_min=a²-7，对任意x₁≤1，g（x）≥0，
∴0＞a²-7，∴-$\sqrt{7}$＜a＜$\sqrt{7}$，∴0＜a＜2；
a≤-1时，x₂≥2，f（x）_min=a²-2a-3，对任意x₁≤1，g（x）≥-1-a，
∴-1-a＞a²-2a-3，∴-1＜a＜2，不成立；
-1＜a＜0时，x₂≥2，f（x）_min=a²-2a-3，对任意x₁≤1，g（x）≥0，
∴0＞a²-2a-3，∴-1＜a＜3，不成立；
综上所述，0≤a＜3．

点评 本题考查函数的单调性与参数范围的求解，考查分类讨论的数学思想，难度大．