Question

4．已知菱形ABCD边长为2，$∠B=\frac{π}{3}$，点P满足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，λ∈R，若$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CP}$=-3，则λ的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$表示出$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{CP}$，列出方程解出λ．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$=（λ-1）$\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BC}$=（λ-1）$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$．
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CP}$=[（λ-1）$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$]•（$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}$）=（1-λ）${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{BC}}^{2}$+λ$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-3．
∵${\overline{AB}}^{2}={\overrightarrow{BC}}^{2}=4$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=2×$2×cos\frac{2π}{3}$=-2．
∴4（1-λ）-4-2λ=-3．
解得$λ=\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算及数量积运算，属于中档题．