Question

13．设函数f（x）=x²-x-$\frac{4x}{x-1}$（x＜0），g（x）=x²+bx-2（x＞0），b∈R，若f（x）图象上存在两个不同点A，B与g（x）图象上两点A′，B′关于y轴对称，则b的取值范围是（4$\sqrt{2}$-5，1）．

Answer 1

分析 根据题意条件等价为f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可得到结论．

解答 解：∵（x）图象上存在两个不同点A，B与g（x）图象上两点A′，B′关于y轴对称，
∴f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有两解，即x-$\frac{4x}{x+1}$=bx-2有两解，整理得b=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x}$=1-$\frac{2x-2}{{x}^{2}+x}$．
设h（x）=$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x}$，则h′（x）=$\frac{（2x-1）（{x}^{2}+x）-（{x}^{2}-x+2）（2x+1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$=$\frac{2（{x}^{2}-2x-1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$．
令h′（x）=0，得x²-2x-1=0，解得x=1+$\sqrt{2}$或x=1-$\sqrt{2}$（舍）．
当0＜x＜1+$\sqrt{2}$时，h′（x）＜0，函数h（x）递减，
当x＞1+$\sqrt{2}$时，h′（x）＞0，函数h（x）递增，
则当x=1+$\sqrt{2}$时，h（x）取得极小值h（1+$\sqrt{2}$）=$\frac{3+2\sqrt{2}-1-\sqrt{2}+2}{3+2\sqrt{2}+1+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+4}{3\sqrt{2}+4}$=4$\sqrt{2}$-5，
当x→+∞时，h（x）→1，
∵b=h（x）有两解，∴b＜1．
∴b的取值范围是（4$\sqrt{2}$-5，1）．
故答案为（4$\sqrt{2}$-5，1）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，考查函数图象的对称变换，函数交点个数及位置的判定，根据条件转化为f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解是解决本题的关键．，综合性强，难度较大．