Question

14．已知函数f（x）=x+x•|x-a|，x∈[1，5]
（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a≥3时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的解析式，讨论当1≤x≤4时，当4＜x≤5时，函数的解析式，求得单调区间；
（Ⅱ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，讨论（1）当3≤a≤4$\sqrt{15}$-11时，（2）当4$\sqrt{15}$-a＜a≤5时，（3）当3＜$\frac{a+1}{2}$＜5，即5＜a＜9时，（4）当a≥9时，求得单调区间，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x+x•|x-4|，
当1≤x≤4时，f（x）=x+x（4-x）=5x-x²，
即有f（x）在[1，$\frac{5}{2}$]递增，在[$\frac{5}{2}$，4]递减；
当4＜x≤5时，f（x）=x+x（x-4）=x²-3x，
对称轴为x=$\frac{3}{2}$∉（4，5]，
可得f（x）在（4，5]递增；
综上可得f（x）的增区间为（1，$\frac{5}{2}$]，（4，5]；
减区间为[$\frac{5}{2}$，4]；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+（a+1）x，x≤a}\\{{x}^{2}+（1-a）x，x≥a}\end{array}\right.$，
由f（$\frac{a+1}{2}$）=$\frac{（a+1）^{2}}{4}$=f（5）=30-5a（a≤5），
解得a=4$\sqrt{15}$-11，
（1）当3≤a≤4$\sqrt{15}$-11时，
f（x）在[1，$\frac{a+1}{2}$]递增，在[$\frac{a+1}{2}$，a]递减，
在（a，5]递增，f（5）＞f（$\frac{a+1}{2}$），
可得f（5）取得最大值，且为30-5a；
（2）当4$\sqrt{15}$-a＜a≤5时，f（x）在[1，$\frac{a+1}{2}$]递增，在[$\frac{a+1}{2}$，a]递减，
在（a，5]递增，f（5）＜f（$\frac{a+1}{2}$），
可得f（$\frac{a+1}{2}$）取得最大值，且为$\frac{（a+1）^{2}}{4}$；
（3）当3＜$\frac{a+1}{2}$＜5，即5＜a＜9时，f（x）=-x²+（a+1）x，x∈[1，5]，
即有f（$\frac{a+1}{2}$）取得最大值，且为$\frac{（a+1）^{2}}{4}$；
（4）当a≥9时，f（x）=-x²+（a+1）x，x∈[1，5]，为递增区间，
即有f（5）取得最大值，且为30-5a．
综上可得，当3≤a≤4$\sqrt{15}$-11时，f（x）的最大值为30-5a；
当4$\sqrt{15}$-a＜a＜9时，f（x）的最大值$\frac{（a+1）^{2}}{4}$；
当a≥9时，f（x）的最大值为30-5a．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，注意运用二次函数的单调性，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，结合函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．