Question

5．已知f（x）=x+asinx．
（1）若a=1．求f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值和最小值；
（2）根据f′（x）≥0，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x+sinx，f′（x）=1+cosx≥0，
∴f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）_max=f（1）=1+sin1，f（x）_min=f（0）=0；
（2）∵f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=1+acosx≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立，
令t=cosx，则1+at≥0对t∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a•（-1）≥0}\\{1+a•1≥0}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[-1，1]．

点评 考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．