Question

15．设i是虚数单位，复数$\frac{1+ai}{2-i}$所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为$-\frac{1}{2}＜a＜2$．．

Answer 1

分析 根据复数代数形式的乘除运算，将复数$\frac{1+ai}{2-i}$化为m+ni（m，n∈R）的形式，再由z在复平面内所对应的点位于第一象限，则复数的实部和虚部均大于0，构造关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：∵复数$\frac{1+ai}{2-i}$=$\frac{（1+ai）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{2-a}{5}$+$\frac{2a+1}{5}$i
又∵z在复平面内所对应的点位于第一象限，
∴$\frac{2-a}{5}$＞0且$\frac{2a+1}{5}$＞0
解得$-\frac{1}{2}＜a＜2$．
故答案为：$-\frac{1}{2}＜a＜2$．

点评 本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中将函数化为m+ni（m，n∈R）的形式，进而将问题转化为解不等式组问题是解答本题的关键．