Question

11．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆E的一个焦点为圆C：x²+y²-2$\sqrt{3}$x-1=0的圆心．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在斜率为-1的直线l，与椭圆交于A，B两点，且满足OA⊥OB．若存在，求该直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圆C的圆心，可得椭圆的c，再利用椭圆的离心率公式，建立方程，求出a，b，即可求椭圆E的方程；
（2）假设存在直线l，将直线y=-x+m代入椭圆方程，利用韦达定理，OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即可求m值，即可判断存在性．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2$\sqrt{3}$x-1=0的圆心为（$\sqrt{3}$，0），
可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=2，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）假设存在斜率为-1的直线l，与椭圆交于A，B两点，且满足OA⊥OB．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$（*）可得5x²-8mx+4m²-4=0，
所以x₁+x₂=$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$，
y₁y₂=（m-x₁）（m-x₂）=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂
=m²-$\frac{8}{5}$m²+$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$=$\frac{{m}^{2}-4}{5}$，
由OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
得x₁x₂+y₁y₂=0，
即为$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$+$\frac{{m}^{2}-4}{5}$=0，
解得m=±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
又方程（*）要有两个不等实根，
△=（-8m）²-20（4m²-4）＞0，解得-$\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$．
m的值符合上面条件，
所以存在斜率为-1的直线l的方程为y=-x±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．