Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上顶点M与左、右焦点F₁、F₂构成三角形MF₁F₂面积为$\sqrt{3}$，又椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的上顶点M与左、右焦点构成三角形面积为$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）S_△TMN=$\frac{1}{2}$|MN||t|=|t|，直线TM的方程为：y=$\frac{1}{t}x+1$，直线TN的方程为：y=$\frac{3}{t}x-1$，求出E、F、E到直线TN：3x-ty-t=0的距离和TF，从而得到k=$\frac{{S}_{△TMN}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{（{t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}{（{t}^{2}+12）^{2}}$，由此能求出k的最大值．

解答 解：（1）椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又$bc=\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）∵S_△TMN=$\frac{1}{2}$|MN||t|=|t|，
直线TM的方程为：y=$\frac{1}{t}x+1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{1}{t}x+1}\end{array}\right.$，得${x}_{E}=\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，
∴E（$\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$），
直线TN的方程为：y=$\frac{3}{t}x-1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{3}{t}-1}\end{array}\right.$，得${x}_{F}=\frac{24t}{{t}^{2}+36}$，
∴F（$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$，$\frac{36-{t}^{2}}{{t}^{2}+36}$），
∵E到直线TN：3x-ty-t=0的距离：
d=$\frac{|\frac{-24t}{{t}^{2}+4}-\frac{t（{t}^{2}-4）}{{t}^{2}+4}-t|}{\sqrt{{t}^{2}+9}}$=$\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9}（{t}^{2}+4）}$，
TF=$\sqrt{（t-\frac{24t}{{t}^{2}+36}）^{2}+（2-\frac{36-{t}^{2}}{{t}^{2}+36}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}（{t}^{2}+12）^{2}+（3{t}^{2}+36）^{2}}{（{t}^{2}+36）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（{t}^{2}+12）^{2}（{t}^{2}+9）}{（{t}^{2}+36）^{2}}}$
=$\frac{（{t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}$，
∴S_△TEF=$\frac{1}{2}TF•d$=$\frac{1}{2}×\frac{{（t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}×\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9}（{t}^{2}+4）}$=$\frac{（{t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}$，
∴S_△TEF=$\frac{1}{2}TF•d$=$\frac{1}{2}×\frac{（{t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}×\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9}（{t}^{2}+4）}$=$\frac{|t|（{t}^{2}+12）^{2}}{（{t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}$，
∴k=$\frac{{S}_{△TMN}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{（{t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}{（{t}^{2}+12）^{2}}$，
令t²+12=n＞12，则k=$\frac{（n-8）（n+24）}{{n}^{2}}$=1+$\frac{16}{n}-\frac{192}{{n}^{2}}$≤$\frac{4}{3}$，
当且仅当n=24，即t=$±2\sqrt{3}$时，等号成立，
∴k的最大值为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦长公式、椭圆性质的合理运用．