Question

12．已知离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），右焦点到椭圆上的点的距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点A，B是椭圆C上的两个动点，直线OA，OB与椭圆的另一交点分别为A₁，B₁，且直线OA，OB的斜率之积等于-$\frac{3}{4}$，问四边形ABA₁B₁的面积S是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和椭圆的最值的结论，解关于a，b，c的方程组，求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）讨论直线AB的斜率不存在，求得A的坐标，由面积公式可得S；直线AB的斜率存在时，设AB：y=kx+m，代入椭圆方程3x²+4y²=12，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，面积公式，化简整理，即可得到所求定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
右焦点（c，0）到椭圆上的点的距离的最大值为3，
可得c+a=3，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）结论：四边形ABA₁B₁的面积为定值4$\sqrt{3}$．
理由如下：当直线AB的斜率不存在时，
设A（x，y），可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，又$\frac{-{y}^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
解得|x|=$\sqrt{2}$，|y|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则S=4|xy|=4$\sqrt{3}$；
当直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+m，代入椭圆方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即为3+4k²＞m²，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由题意可得$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，即3x₁x₂+4y₁y₂=0，
即（3+4k²）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
代入韦达定理，可得3+4k²=2m²，
由|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}•|m|}{2{m}^{2}}$，
由O到直线AB的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则S=4S_△OAB=2|AB|d=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}•|m|}{2{m}^{2}}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4$\sqrt{3}$．
综上可得，四边形ABA₁B₁的面积S为定值4$\sqrt{3}$．

点评 本题是一道直线与椭圆的综合题，考查椭圆的标准方程、点到直线的距离、三角形面积公式，韦达定理等基础知识，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．