Question

17．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞1），过点B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）作斜率为1的直线l交椭圆E于C、D两点，点B恰为线段CD的中点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设动点Q在椭圆E上，点R（-1，0），若直线QR的斜率大于1，求直线OQ的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出直线l：y=x-1，与椭圆联立，得（a²+1）x²-2a²x=0，由此利用根的判别式、中点坐标公式，求出a²，由此能求出椭圆E的标准方程．
（2）由题意Q（2cosθ，sinθ），R（-1，0），${k}_{QR}=\frac{sinθ}{2cosθ+1}$＞1，从而$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{2π}{3}$，由此能求出直线OQ的斜率的取值范围．

解答 解：（1）∵直线l过点B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）斜率为1，
∴直线l：y+$\frac{1}{5}$=x-$\frac{4}{5}$，整理，得y=x-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，得（a²+1）x²-2a²x=0，
△=4a⁴-4（a²+1）＞0，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵过点B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）作斜率为1的直线l交椭圆E于C、D两点，点B恰为线段CD的中点，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{{a}^{2}+1}_{\;}}=\frac{8}{5}$，
解得a²=4，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）∵动点Q在椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1上，∴Q（2cosθ，sinθ），R（-1，0），
∵直线QR的斜率大于1，∴${k}_{QR}=\frac{sinθ}{2cosθ+1}$＞1，
∴0＜2cosθ+1＜sinθ，
∴-$\frac{1}{2}$＜cosθ＜0，
∴$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{2π}{3}$，
∵直线OQ的斜率k=$\frac{sinθ}{2cosθ}$=$\frac{1}{2}tanθ$，$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{2π}{3}$，
∴直线OQ的斜率k∈（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．
∴直线OQ的斜率的取值范围是（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、根的判别式、椭圆参数方程、直线的斜率等知识点的合理运用．