Question

9．下列函数中既是奇函数又在区间（-1，1）上单调递减的是（　　）

• A． y=sinx
• B． y=-|x+1|
• C． y=ln$\frac{1-x}{1+x}$
• D． y=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）

Answer 1

分析 根据正弦函数的单调性，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及奇函数定义，复合函数单调性的判断，对数函数的单调性，反比例函数的单调性，以及偶函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A．y=sinx在（-1，1）上单调递增，∴该选项错误；
B．x=0时，y=-1，即该函数不过原点，∴不是奇函数，∴该选项错误；
C．解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1；且$ln\frac{1-（-x）}{1+（-x）}=ln\frac{1+x}{1-x}=-ln\frac{1-x}{1+x}$；
∴该函数为奇函数；
设$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}$，则y=lnt为增函数，且$t=-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上为减函数；
∴函数$y=ln\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上为减函数，∴该选项正确；
D．设y=f（x），显然f（-x）=f（x）；
∴该函数是偶函数，∴该选项错误．
故选C．

点评 考查正弦函数的单调性，奇函数、偶函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及对数函数、反比例函数的单调性，复合函数单调性的判断．