Question

14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂．若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得$\frac{1}{2}$•2b•2c=$\frac{1}{2}$a•4$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），B₁（0，b），B₂（0，-b），
F₁（-c，0），F₂（c，0），
且a²+b²=c²，菱形F₁B₁F₂B₂的边长为$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
由以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，
运用面积相等，可得
$\frac{1}{2}$•2b•2c=$\frac{1}{2}$a•4$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
即为b²c²=a²（b²+c²），
即有c⁴+a⁴-3a²c²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-3e²+1=0，
解得e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
可得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$舍去）．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．