Question

4．已知复数Z满足|Z|=$\sqrt{2}$，Z²的虚部是2．设Z，Z²，Z-Z²在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为4或1．

Answer 1

分析 写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，即得到三角形的三个顶点的坐标，求出三角形的面积．

解答 解：设Z=x+yi（x，y∈R），由题意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{2}}&{①}\\{2xy=1}&{②}\end{array}\right.$
故（x-y）²=0，∴x=y将其代入②得2x²=2，
∴x=±1
故 $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-1\end{array}\right.$
故Z=1+i或Z=-1-i；
（2）当Z=1+i时，Z²=2i，Z-Z²=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴$|{AC}|=2，{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×1×2=1$
当Z=-1-i时，Z²=2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，2），C（-1，3），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
即△ABC的面积为4或1，
故答案为：4或1，

点评 本题考查三角形面积的计算，根据条件先求出复数，结合复数的几何意义求出对应点的坐标是解决本题的关键．